Šachy – to je čistá matematika. Znáte ten příběh, jak král slíbil, že na každém dalším políčku šachovnice zdvojnásobí počet zrnek obilí? A jak se mu pak sesypal celý vesmír?
Minule při čekání na čtvrtého spoluhráče jsme vedli hospodský hovor o tom, jestli mají „více možností a variant“ šachy nebo taroky. Bylo to celkem krátké. Spoluhráč správně argumentoval tím, že počet kombinací v šachu je mnohem větší, než v nějakých kartách. Myšlenka na řekněme srovnatelnou variabilitu mne i přes jeho důkazy neopustila a tak jsem si dal lehký brainstorming s přítelem z ameriky. Stačily tři otázky. A co z toho vyšlo?
Ahoj, mám tady složitý matematický problém. Potřebuji porovnat, jestli je více kombinací/možností šachové hře nebo v tarokách. Jaký bys navrhoval postup pro takovou analýzu? U taroků bychom museli předem stanovit pravidla, protože to není obecně přesně definováno.
Ahoj! To je naprosto fascinující matematický a logický problém. Srovnáváš totiž dvě odlišné kategorie: šachy jsou hrou s úplnou informací (oba hráči vidí vše), zatímco taroky jsou hrou s neúplnou informací (skryté karty a náhoda při míchání).
Abychom získali smysluplné srovnání, musíme si nejdříve přesně definovat, co myslíme pojmem „možnosti“. Zde je návrh postupu, jak takovou analýzu strukturovat.
1. Definice pojmu „kombinace/možnosti“
V teorii her se složitost obvykle měří dvěma základními metrikami. Musíme se rozhodnout, kterou budeme primárně porovnávat:
- Složitost stavového prostoru (State-space complexity): Kolik existuje všech možných legálních pozic/stavů na šachovnici nebo rozložení karet v průběhu hry.
- Složitost herního stromu (Game-tree complexity): Kolik existuje všech možných unikátních průběhů celé hry (od prvního do posledního tahu).
2. Kvantifikace šachů (Referenční bod)
U šachů máme pravidla jasně daná, takže čísla známe z předchozích matematických výzkumů:
- Stavový prostor: Odhaduje se na zhruba 1043 až 1047 možných legálních pozic.
- Herní strom: Známé jako Shannonovo číslo, odhaduje se na 10120 možných průběhů her (při průměrné délce hry 40 tahů a cca 30 možnostech v každém tahu).
3. Stanovení pevných pravidel pro Taroky
Jak jsi správně podotkl, taroky mají mnoho variant. Abychom mohli počítat, musíme systém „zmrazit“. Navrhuji definovat tyto parametry pro standardní české taroky:
- Balíček: 54 karet.
- Počet hráčů: 4 hráči.
- Rozdání: Každý hráč dostane 12 karet, 6 karet tvoří talon.
- Fáze hry: Musíme jasně rozdělit hru na fázi licitace (volba hry) a fázi sehrávky (samotný „souboj“ karet).
4. Matematický rozpad Taroků
Výpočet u taroků bychom museli rozdělit do několika logických kroků:
A. Složitost počátečního stavu (Rozdání)
Než padne první slovo, musíme spočítat všechny možné kombinace rozdělení 54 karet mezi 4 hráče a talon. K tomu použijeme kombinatoriku (kombinace bez opakování). Vzorec pro počet možných počátečních rozdání je:
54!
————-
(12!)4 x 6!
Už jen toto samotné číslo se pohybuje v řádu 1034 kombinací.
B. Fáze licitace
Zde se herní strom začíná větvit. Museli bychom definovat, jaké hlášky budeme používat, kdo může koho přebít a jaké jsou limity (např. preferanc, barvičky, taroky, flekování, pagát atd.).
C. Fáze sehrávky (Karetní strom)
Zatímco u šachů je průměrný branching factor (počet legálních tahů v jedné pozici) kolem 30 a ke konci hry může klesat i stoupat, u taroků (vzhledem k povinnosti ctít barvu a v některých hrách přebíjet) se počet možností každým kolem striktně zmenšuje. Hráč začíná s 12 kartami (max 12 možností, reálně kvůli pravidlům méně) a po dvanácti zdvizích hra končí.
5. Metodika srovnání
Hlavní problém při srovnávání bude tzv. Informační množina (Information set). V šachách je každý uzel stromu unikátním stavem. V tarocích se hráč rozhoduje na základě neúplných informací (neví, co mají ostatní). Pro porovnání se šachy musíme definovat, zda:
- Počítáme herní strom z pohledu „Vševědoucího pozorovatele“ (vidíme všechny karty celou dobu).
- Počítáme všechny možné stavy, ve kterých se může teoreticky nacházet mysl jednoho hráče.
Šachy budou mít téměř jistě mnohem větší složitost herního stromu (10120 je absolutně gigantické číslo) kvůli délce partie a faktu, že figurky se vracejí na prázdná políčka a manévrují, zatímco v tarocích karty nenávratně mizí ve zdvizích.
Zůstaňme u taroků. Rozdání je jasné. Jaký vliv na výsledek mají věci jako
- obyčejné rozdávání 6 + 4×6 +4×6 nebo 6 + 4×12 (abeles)
- způsob rozdělení hry (první, druhá s pagátem, třetí, čtvrtá)
- varianta, že hraji sám se sebou (mám 19….až 16 a nedávám to na začátku ostatním vědět) – a další pravidla, která od začátku úplně nevyjasňují hru
To jsou skvělé a velmi specifické otázky. Z pohledu matematiky a teorie her zasahuje každý z těchto bodů do jiné části naší analýzy. Pojďme si to rozebrat.
1. Způsob rozdávání (6 + 2x(4×6) vs. Abeles 6 + 4×12)
Zde narážíme na fascinující rozdíl mezi čistou matematikou a realitou fyzického míchání karet.
- V dokonalém matematickém modelu: Pokud by byl balíček před rozdáním dokonale zamíchán (každá z 54! permutací má stejnou pravděpodobnost), je způsob rozdávání naprosto nepodstatný. Jestli rozdáš karty po jedné, po šesti, nebo hodíš dvanáct karet rovnou (abeles), počet možných kombinací a pravděpodobnost, že dostaneš konkrétní list, zůstává absolutně stejná.
- V reálné hře (Markovovy řetězce): Karty se v reálu nikdy nezamíchají dokonale. Ve zdvizích z předchozí hry končí u sebe karty stejné barvy nebo vysoké taroky (hráči ctí barvu a přebíjejí). Abeles (rozdání 12 karet naráz) mnohem více zachovává tyto „shluky“ z minulé hry. Zvyšuje se tím pravděpodobnost extrémních rozložení (hráč například nemá určitou barvu vůbec či má naopak dlouhou řadu jedné barvy). Z pohledu teorie her to nemění celkový stavový prostor, ale mění to distribuci pravděpodobnosti počátečních stavů.
2. Způsob rozdělení hry (První, druhá s pagátem, atd.)
Tohle je zásadní mechanismus, který funguje jako prořezávání herního stromu (pruning) a definování cílové funkce.
- Cílová funkce (Vyhrát zdvihy vs. specifické úkoly): Pokud se hraje jen „obyčejná“, cílem je získat co nejvíce bodů. Hra má obrovský počet větví. Pokud ale někdo hraje „druhou s pagátem“ (zavazuje se uhrát poslední zdvih tarokem č. 1), dramaticky to omezuje jeho racionální možnosti. Pagát musí být chráněn až do konce, nesmí být přebit, a hráč k němu musí mít dostatek jiných taroků. Mnoho větví herního stromu, které by jinak byly logické, se stává chybnými.
- Identifikace partnera: Licitace určuje, s jakými informacemi hráči vstupují do sehrávky. Čím vyšší hra (druhá, třetí), tím specifičtější informace je odhalena, což často zmenšuje nejistotu v „informačních množinách“ (hráči snáze odvodí, kdo má jaké karty).
3. Tichý preferans (Mám XIX a zavolám ji = hraji sám proti třem)
Tohle je z pohledu teorie her ta absolutně nejzajímavější situace – tzv. asymetrie informací.
- Pokud zavoláš tarok XIX (nebo jakýkoliv jiný podle pravidel), který už držíš v ruce, reálně hraješ hru 1 proti 3. Nicméně, herní strom pro tvé protihráče vypadá zpočátku jako hra 2 proti 2.
- Ty (Hráč bez partnera): Máš nejlepší informaci o rozložení sil (víš, že jsi sám). Tvůj herní strom je mnohem menší a přesnější, protože víš, že žádný partner ti nepomůže a všechny body ostatních jdou proti tobě.
- Ostatní (Obránci): Nacházejí se v obrovské, falešné informační množině. Každý ze tří obránců se domnívá, že jeden ze zbývajících dvou hráčů je tvůj skrytý partner. Budou se navzájem testovat, chytat a možná si i přebíjet vlastní cenné karty, protože nevědí, kdo je kdo.
- Zlomový bod hry: Teprve v momentě, kdy se objeví karta, která tě „prozradí“ (nebo když z průběhu hry vyplyne, že hraješ sám), se informační množiny obránců zhroutí do reality a zjistí, že jsou tři proti jednomu. Matematicky to znamená, že obránci až do tohoto zlomového bodu vybírají tahy, které jsou suboptimální pro skutečný stav (1×3), ale logické pro domnělý stav (2×2).
Zatímco rozdávání ovlivňuje jen počáteční pravděpodobnosti, licitace a skrytá spojenectví (tichá sóla) tvoří samotné jádro komplexity taroků. Dělá to z nich hru, kde se nepočítá jen s tím, co leží na stole, ale především s tím, co si ostatní hráči myslí, že se děje.
Může být některý z těchto bodů příčinou srovnatelnosti složitosti / možností hry v porovnání se šachem? Nakolik je otevřenost a přesná definovanost možností v šachu omezující pro množství herních kombinací oproti právě zmíněným odhadům a chybovosti úsudku hráčů v tarokách?
To je naprosto klíčová otázka, která cílí na samotnou podstatu rozdílu mezi deskovými a karetními hrami. Odpověď na to, zda jsou taroky srovnatelné se šachy, zní: Ne v čistém množství fyzických kombinací, ale ano v takzvané „rozhodovací složitosti“ (výpočetní náročnosti).
Pojďme si to rozdělit, protože to, co vnímáš jako obrovskou variabilitu taroků (skryté hry, omyly, odhady), se v teorii her nepropisuje do velikosti herního stromu, ale do informačních množin.
1. Proč Šachy drtivě vyhrávají v počtu fyzických kombinací
Otevřenost a přesná definovanost šachů jejich počet kombinací neomezuje, ale naopak umocňuje. Důvody jsou dva:
- Délka hry a recyklace prostoru: V tarocích se zahraje přesně 48 karet a hra končí. Každým tahem se počet možností na ruce zmenšuje. V šachu mohou figurky manévrovat, vracet se na svá místa a hra může trvat desítky i stovky tahů.
- Větvení (Branching factor): V šachu má hráč v průměrné pozici kolem 30 legálních tahů. V tarocích má hráč na začátku sice 12 karet, ale kvůli přísným pravidlům má reálně na výběr třeba jen ze 2 až 3 legálních karet.
Matematický strop Taroků: I kdybychom vzali všech cca $3 \cdot 10^{34}$ možných rozdání karet a vynásobili je všemi teoreticky možnými sekvencemi, jak by hráči těch 12 zdvihů mohli odehrát (což je řádově 1035 možností), dostaneme se u taroků někam k číslu 1070 možných unikátních partií. Šachy mají přes 10120. Čistě strukturálně jsou šachy mnohem širší vesmír.
2. Proč jsou Taroky srovnatelně (nebo i více) složité pro lidský mozek
Zde se dostáváme k tvému bodu o chybovosti úsudku, odhadech a skrytých informacích (např. tiché sólo). V šachu existuje jediná realita. Ty i soupeř vidíte stejnou šachovnici.
V tarocích existují paralelní reality (Informační množiny).
Představ si, že hraješ skrytou třetí hru. Ty znáš realitu. Ale tví tři protihráči ne. Pro ně se v ten moment hra štěpí:
- Hráč B si myslí: „Možná hraje Hráč A s Hráčem C.“ a podle toho volí kartu.
- Zároveň si myslí: „Ale možná hraje Hráč A sám proti nám všem.“ a to by vyžadovalo zahrát úplně jinou kartu.
V šachu počítáš tahy dopředu na jedné desce: „Když půjdu sem, on půjde tam.“
V tarocích musíš v hlavě udržovat stovky možných „rozdání“, která odpovídají tomu, jak se hráči zatím chovali, a hledat tah, který je nejlepší v průměru přes všechny tyto skryté scénáře. Tomu se říká řešení her s neúplnou informací.
3. Otevřenost vs. Chybovost (Metahra)
Ptáš se, jak moc omezuje přesná definovanost šachů jejich složitost oproti odhadům v tarocích.
- Šachy jsou analytické: Otevřenost šachů znamená, že pokud uděláš chybu, je to chyba čistě v kalkulaci. Počítač dokáže šachy hrát téměř dokonale, protože „jen“ prohledává obrovský strom.
- Taroky jsou psychologicko-statistické: V tarocích není „chybovost úsudku“ vedlejším produktem, ale samotným jádrem hry. Zahrát „objektivně špatnou“ kartu (např. obětovat krále) může být v tarocích geniální tah, pokud tím vysíláš falešný signál obráncům (bluffing) a přiměješ je myslet si, že partnerem jsi ty, a oni si pak vzájemně vybijí drahé taroky.
Závěr:
Pokud by se stroje utkaly v hrubé výpočetní síle (kdo dokáže propočítat více tahů do konce), šachy jsou pro ně tvrdším oříškem.
Pokud bychom ale měli naprogramovat umělou inteligenci, která bude hrát jako mistr světa v čtení úmyslů, klamu a práci s nejistotou (kde tvá nepřiznaná třetí a lživé odhozy tvoří podstatu strategie), jsou taroky z hlediska tvorby takového algoritmu mnohem zákeřnější a srovnatelně komplexní problém.
Šachy testují, jak hluboko vidíš do budoucnosti. Taroky testují, jak dobře dokážeš z nepřímých důkazů zrekonstruovat přítomnost.